事业单位行政职业能力测验数量关系：巧用均值不等式

数量关系作为行测考试中的一个重要部分，考生对于这一块的学习是必不可少的。而数量关系的题型又纷繁芜杂，所以掌握合适的方法便尤为重要。今天，我们来学习数量关系中的一个考点：均值不等式。

二、均值不等式的结论

通过这个不等式可以看出：如果a+b的和一定，我们可以求出a×b的最大值;如果a×b的乘积一定，我们可以求出a+b的最小值。

例如：12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6=12，也就是这一系列的两数之和都是12，而它们相乘分别为1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。随着这两个数相差越小，它们的乘积就越大，当两数相等时乘积最大。这就是和定，差小积大。

例如：16=1×16=2×8=4×4，也就是这一系列的两数之积都是16，而它们的和1+17=18，2+8=10，4+4=8。随着这两个数相差越小，它们的和就越小，当两数相等时和最小。这就是积定，差小和小。

我们要记住均值不等式的结论：和定，差小积大;积定，差小和小;两数相等取极值。

三、典型例题

【例1】村民陶某承包一长方形地块，他将地分割成如图所示的A、B、C、D四个地块，其中A、B、C的周长分别是20米、24米、28米，D的最大面积是多少平方米?

A.42 B.49 C.64 D.81

【答案】C。解析：如图所示，设长方形A的宽为a，长为b，则a+b=10。长方形B的宽为c，则b+c=12。长方形C的长为d，则a+d=14。如下图所示：

则长方形D的面积为c×d。根据3个方程可得c+d=(a+d)+(b+c)-(a+b)=14+12-10=16。故c+d的和是一定的，而要求的是c×d乘积的最大值，根据“和定，差小积大”只需要让c与d相差最小，即c和d相等时，取得乘积的最大值。则c=d=8，求出c×d的最大值为64。故选C。

【例2】某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么要造一个深为3米、容积为48立方米的无盖贮水池最低造价是多少元?

A.6460 B.7200 C.8160 D.9600

【答案】C。解析：由题干“造一个深为3米、容积为48立方米的无盖贮水池”可知该蓄水池的底面积为48÷3=16㎡。假设蓄水池的长和宽分别为a和b，可得a×b=16。则总造价=16×150+(3a×2+3b×2)×120，整理可得总造价=2400+720×(a+b)，要让总造价最小只需要让a+b的和最小，由于a×b=16积是一定的，根据“积定，差小和小”只需要让a与b相差最小，即a和b相等时，取得和的最小值。则a=b=4，求出a+b的最小值为8，所以无盖贮水池最低造价是2400+720×8=8160。故选C。