浅谈用均值不等式解决行测中的最值问题

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数量关系中我们会经常遇到求最大或者最小值的问题，这类问题部分同学会感觉无从下手，另一部分同学会想到结合二次函数图像求最值感到非常麻烦，那么今天给大家介绍均值不等式在行测中如何秒杀最值问题。这里我们首先回顾一下均值不等式原理，即算数平均数大于集合平均数，用公式表示的话就是 。很多同学应该还记得高中时代我们熟悉的应用方法。即当a+b是定值的时候，ab的乘积有最大值，当且仅当a=b时取最大值;当ab是定值的时候，a+b有最小值，当且仅当a=b的时取最小值。只介绍理论知识可能还体会不到它的便捷度，接下来我们结合例题来进行说明。

例1.(2020江苏)某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件，已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：

A.5元

B.6元

C.7元

D.8元

【答案】C

【解析】设销售单价应降低X元能实现该商品的销售利润Y元。售价降低n元，即降了n个1元，则每件利润变为100-80-n=20-n。每降低1元，售出的数量增加20，此时可售出数量为120+20n。则销售利润Y=(20-n) (120+20n)，也就是求Y的最大值，为了求乘积的最大值，需要把和构造为定值，因此Y=20(20-n)(6+n)，当且仅当20-n=6+n的时候，即n=7时，Y取最大值。因此，选择C选项。

例2.建造一个容积为48立方米，深为3米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每立方米150元和每立方米120元，那么该水池的最低造价是多少元?

A.6460

B.7200

C.8160

D.9600

【答案】C

【解析】由于容积为48，深度为3，则水池的底面积=48÷3=16，池底的造价为150×16=2400。要使水池的造价尽量低，则使其侧面积尽量小，设池底长和宽分别为X、Y，侧面积=2×(3X+3Y)=6×(X+Y)，底面积XY=16。因为XY的乘积是定值，则X+Y的和有最喜小值，当且仅当X=Y=4时X+Y最小，最小值为4+4=8。侧面积=6×8=48,池壁造价为120×48=5760,因此该水池最低造价为2400+5760=8160，选C。

我相信通过以上两道题大家对均值不等式的理论知识和应用已经有了一定的了解，那么为了便于大家记忆，可以将其总结为，“和定时积最大，积定时和最小，当且仅当a=b时取最值。”接下来也可以给大家分享一下思维导图，大家后期进行多练习，考试中遇到此类题目一定会拿分。

（编辑：上海华图）