事业单位行政职业能力测验数量关系：浅析方阵问题

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方阵问题在事业单位的考试里会经常见到，这类问题一般来说难度不高，计算量也不大，但因其套路多变、问法多样，所以很多时候碰到这类题目，我们会出现不知从何下手，或公式套对但结果出错的情况，所以精准理解和应用公式和原理很有必要。而想搞懂方阵问题，还是要从方阵本身入手，了解公式是如何来的，常见的题目又有哪些问法等。今天我们就来一起探讨一下这些问题。

首先，在讲解公式之前，我们要了解什么是方阵。简单说方阵就是一个n×n的正方形阵列，行数和列数相等，如图1就是一个3×3的方阵(假设黑色方格代表一个人)，如果外面再加一层，就会变成一个5×5的方阵(图2)。

方阵常用的公式和结论有四个，分别是：

1.方阵的总数=边长的平方

2.每层总数=边长×4-4

3.相邻两层间每一边的个数相差2

4.相邻两层总数差8(有一种情况例外，具体看正文)

我们观察图1和图2，简单数一下即可得到图1总数为9=3²，图2总数为25=5²，由此得到第一个结论，方阵的总数=边长的平方。当然为了便于理解，也可以类比于几何问题，正方形的面积等于边长的平方。应用到做题的过程中，当题目问到方阵总数的时候，答案一定是一个完全平方数。

第二个公式：每层总数=边长×4-4。首先，我们可以看到图2中蓝线连接的一层所包含的黑格个数，就是一层的总数，通过简单数数可以得到总数为16。因为边长为5，共有4条边，很多同学很自然地就按照正方形算周长的方式把总数记为5×4=20，但是实际上总数是16，仔细观察一下，我们在数最上面的一边的时候已经数了两个角的点，而在数左侧和右侧的时候，如果也数成5的话，那么角落上的方格就相当于又被数了一次，所以实际四个角落在其所在的行和列中都数了两次，所以就重复计算了，因此应该把四个角上的点减去一次，所以最外层应该是5×4-4=16。再比如往里数倒数第二层是3×4-4=8。

第三个结论中，上面刚说过每层的总数指的是从外到内每一圈的数量，比如图2中蓝线连接的就是由外向内的第一层，红线连接的是由外向内的第二层。由外向内第一层的边长是5，第二层边长是3,相邻两层边长差2，从图中可以看到其实就是相邻两层每边的两端各加了1个，所以一边共相差2。如果再往外加一层的话，那么很容易就可以得到边长为7。

第四个结论说的相邻两层总数的关系，结合结论二和三推导的话，假如最外面一层边长为8，第二层边长为6，第三层边长为4，那么总数就应该分别是28、20、12，可以看出每两个数字之间差8。具体原理如图3，红线分别标出了内外层相对应的两个点，紫色圆圈圈出的8个点实际上就是外层比内层多的部分，就是多了四个角两侧的点，总共4×2=8个。但是有一种情况例外，那就是边长为3的方阵，最外一层和里面一层，数量是差7的，如图4所示，外层总数8个，内层只有1个，相差为7。

公式和结论理解了以后，接下来我们来看看具体的应用。对于题目比较常见的问法，是问总数或方阵边长的居多，比如下面这道题：

【例1】某中学计划在操场开展心理健康知识宣讲，刚开始在操场上摆放的若干座位成正方形方阵，后因部分学生临时无法参加，于是撤下了三行三列的座位，最终减少了81个座位，则最开始摆放了( )个座位。

这个题目很显然就是问的总数多少的问题，而给出的条件是撤去的三行三列是81，这里要注意的是，三行三列并不是我们刚刚提到过的三层，而是类似于如图5中红线划掉的部分。很多同学在这里可能会根据划掉部分等于81来思考方程的列式，但如果根据方阵公式去思考的话就很好做了，这个题目无非就是由一个方阵，变成另一个边长少了3的方阵，所以如果假设之前的方阵边长为n，后来的方阵边长为n-3，那么式子就应该是n²-(n-3)²=81，解方程或者代入选项即可，所以答案应该是225人。

我们再来看一道题目：

【例2】某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人?

这个题目先是说了学生排成一个实心方阵后多7人，后来每行每列增加1人就会得到一个边长+1的方阵，此时少了4人，那么我们还是从方阵的公式考虑，如果假设开始排成的方阵边长为n的话，总人数就应该是n²+7，后来排成n+1的方阵差4人，总人数就应该是(n+1)²-4，前后原有的学生人数不变，所以两个式子应该相等，列式为n²+7=(n+1)²-4，可以解出n=5，把n=5代回n²+7=(n+1)²-4，可知总人数是5²+7=32人。

上述就是考试中常见的方阵问题的问法及解法，但需要注意的是有些题目可能会特意强调是矩形方阵，那么行数和列数就可能不同了，可能会出现4×5，或者6×9这种矩形，但分析方法基本是一样的，我们可以通过画图，利用数形结合的方式进行分析得到结论，所以小伙伴们在做题的时候，也一定要注意题目具体的描述。