隔板法的基础与进阶应用

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同学们在学习排列组合问题时，应该接触到了其中的一类题目：将相同的m个元素，分成n份，每份至少一个，共有多少种分法。我们把解决此类问题的方法叫做隔板法。

在操作过程我们在m个元素间，即m-1个空中插入n-1个板子，将其分成了n份，于是我们得出公式。

这个公式称为隔板法的基础模型公式。从题型上来看，必须满足：

1.n个元素必须相同，2.每个组至少分到一个元素。

应用如下：

【例1】把7支相同的笔分给参加会议的4名教师，每人至少1支，至多3支，共有多少种分法?

A.32

B.20

C.16

D.10

【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类，用隔板法解题。

第二步，7支笔，每人至少1支，有(种)分法，根据每人至多3支，可知按4、1、1、1分配，有4种分法不符合题意，故共有20-4=16(种)分法。

因此，选择C选项。

以上是以“每人分到元素至少一个”的基础模型，在此基础上，当“每人分到元素至少大于1个时”又该怎么办呢。

【例2】把20支相同的笔分给参加会议的4名教师，每人至少3支，共有多少种分法?

A.165

B.170

C.180

D.190

【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类，用隔板法解题。

第二步，先给每个老师每人分2只笔，此时题目转换为还剩下12支笔，分给4个老师每人至少一支笔。符合隔板法基础模型。共有种分法。因此选择A选项。

所以当每人分到的元素个数k大于1时先给每人分k-1个，将题目转换为基础模型再套用基础公式即可。

那么当“每人分得元素可以为0个”时呢。

【例3】把7支相同的笔分给参加会议的4名教师，允许有人分不到，共有多少种分法?

A.90

B.100

C.110

D.120

【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类，用隔板法解题。

第二步，先借来4支笔，每个老师每人分一支，此时题目转换为11支相同的笔，分给4个老师，每人至少分一个的基础模型题目，符合隔板法基础模型。共有种分法。

因此选择D选项。

综上所述，我们所需要重点掌握的是隔板法的基础模型，即将相同的m个元素，分成n份，每份至少一个。以及它的核心公式。

无论当每人分得的元素大于1时，还是可以等于0时，核心思路都是将题目转换为基础模型并套用公式加以计算。希望大家以后在遇到此类问题时，能够第一时间做到题目辨析，抓住分数。

（编辑：上海华图）