国考揭开容斥问题的新面纱

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　　容斥问题，顾名思义就是包含与排斥的问题，是为了避免重复和遗漏的一种新的计数方法。这种方法的原理就是先把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算结果既无遗漏也无重复。

　　在我们资料分析中频繁出现的是二者容斥和容斥极值问题，它们经常藏在调研、调查类题目当中，与比重牵着手一起出现，只要你找到它、熟悉它，那么和容斥相关的题目就没那么复杂了。下面就来结合比重问题一起揭开容斥问题的真面目。

　　一、二者容斥：两部分占比之和大于100%时，两部分必有交集。

　　例、2019年2月中下旬，某市统计局随机抽取2000名在该市居住半年以上的18~65周岁居民，就其在2019年春节期间的消费情况进行了调查。调查结果显示：与上年春节相比，28.3%的受访居民消费支出有所增加，58.0%的受访居民消费支出基本持平。

　　问题：2019年春节期间有“餐饮消费”的受访居民中，一定有人：

　　A.参加教育培训

　　B.去旅游

　　C.购保健产品

　　D.购数码产品、智能家电

　　【答案】A。解析：根据“2019年......受访居民中”，结合选项为不同消费项目，判定本题为现期比重问题。定位图2，2019年春节期间不同消费项目受访居民占比，其中，消费餐饮所占比重为70.2%; 结合选项，其中受访居民参加教育培训所占比重为33.2%、去旅游占比为27.9%、购保健品占比为14.9%、购数码产品、智能家电占比为16%。在本题中餐饮消费所占比重+某项消费所占比重>100%“时两个集合必有交集，即有居民同时出参与两项活动，故所求项目消费所占比重>100%-70.2%=29.8%，选项中只有A项符合。故本题选A。

　　小结：题目解决完，会发现真正需要计算的数据是很简单的，重点是大家要从问题中“get”到所求的是两个部分的交集，同时也要将调研问题画个重点符号，它也经常是容斥要出现的小预兆。

　　二、容斥极值：若两部分占比之和>100%时，两部分必有交集，交集的最小值即为两部分占比之和-100%。

　　例、问题：2019年春节期间消费支出2000元以下的居民中，“发红包、给压岁钱”的至少占：

　　A.79.4%

　　B.61.0%

　　C.54.8%

　　D.52.9%

　　【答案】D。解析：题干要求的为两集合容斥的极值问题，由图1可知，消费支出在2000元以下的受访居民占比为36.7%。根据图2可知，“发红包、给压岁钱”的受访居民占比为82.7%，根据两集合容斥原理的极值问题可知，消费支出在2000元以下的受访居民中“发红包、给压岁钱”的受访居民最少为82.7%+36.7%-100%=19.4%。因整体均为消费支出在2000元以下的受访居民人数，则所求占比最少19.4%÷36.7%=52.X%。故本题选D。

　　小结：这道题目就是比重结合容斥问题来考查的，是因为所给的占比总量均为受访居民人数，所以可用占比数据代替人数计算。

　　综上所述，大家会发现其实只要我们抽丝剥茧的找寻到容斥问题的真面目，那么解决这类问题是不难的。它所涉及到的知识点其实不多，我们是很容易在短期内学会解答这类题目的。而当资料分析中出现的容斥问题时，尤其是结合比重一起出现，我们在读题的时候，要关注谁是整体，谁是部分，以便于后续题目的解答。