数量老师告诉你：容斥问题其实并不难

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无论是在上考省考中，还是在各种事业单位的考试中，容斥问题都是常考的题型。但是考生对这种题型却非常的头疼，无从下手。其实只要大家掌握了容斥问题的公式，这类题目也就迎刃而解了。

容斥问题主要分为两集合和三集合这两种类型。首先两集合容斥原理的公式为：。对于此种题型，只需要在题目中将对应量找到代入公式中即可。我们通过一个例题练习一下。

【例1】某班有38名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有26人，答对第二题的有24人，两题都答对的有17人，则两题都答错的人数是：

A. 3 B. 5

C. 6 D. 7

【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。

第二步，设两题都答错的人数为x，根据二集合容斥公式，可得38-x=26+24-17，解得x=5。因此，选择B选项。

接下来再学习一下三集合容斥原理的公式。

标准型：

非标准型：

可以看出这两个公式比较相似，那么我们怎样区分哪一个题目应该用哪个公式呢?就是看题目当中给出的条件的个数，如果给出了这样的三个条件，那么就用三集合标准型的公式，如果给出了“只满足两个条件的个数”这样的一个条件，那么就用三集合非标准型的公式。接下来我们通过题目练习一下吧!

【例2】针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人?

A.20 B.18

C.17 D.15

E.14 F.13

G.12 H.10

【解析】第一步，本题考查容斥原理，属于三集合容斥类，用公式法解题。

第二步，因为题目中给出“8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山”这种条件给出了三个，因此用三集合标准型公式计算即可。设不喜欢任何一个景点的有x人，根据公式，得出100-x=28+30+42-8-10-5+3，解得x=20。因此，选择A选项。

【例3】如图所示：A、B、C分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且A与B、B与C、C与A重叠部分的面积分别是22、60、35。问阴影部分的面积是多少?

A. 15 B. 16

C. 17 D. 18

【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。

第二步，设阴影部分面积为x，由总共盖住的面积为280，根据三集合标准公式可得：280-0=60+170+150-22-60-35+x，解得x=17(也可利用尾数法，计算尾数为7)。因此，选择C选项。

【例4】某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人?

A.2 B.3

C.5 D.7

【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。第二步，题干“只参加两科竞赛的有24人”这种条件只给出了一个，所以用三集合非标准型的公式。设参加三科竞赛的有x人，根据公式可列方程：40-0=22+27+25-24-2x，解得x=5。因此，选择C选项。

为了让大家对这部分的内容掌握的更加深刻，小编也给大家整理了思维导图，可以保存起来经常复习一下。祝大家早日成“公”!

（编辑：上海华图）