最值问题中的最不利构造

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各位同学在学习数量关系的过程中，肯定会学习到最值问题。最值问题是数量关系当中比较重要的一个知识点了，考察频率高，同时有一定的规律可循，只要大家认真学习，一定可以掌握，今天就简单给大家介绍一下。

最值问题一共分为三个模块：最不利构造，数列构造，多集合反向构造。今天给大家介绍的是数列构造，数列构造有其自身明显的题型特征，并且有固定的解题步骤，是最值问题当中，极其容易上手的题型。

学习数列构造，第一步就是要清楚什么样的题目考察的是数列构造，当题目的问题为“排名第×……至多/至少……”、“最多的……至多/至少……”、“最少的……至多/至少……”考察的就是数列构造的知识点了。第二步就是要谨记数列构造的解题步骤，数列构造的本质是已知多项和，求某项的最值。它的步骤一共分为四步：第一步，排序(问谁设谁)，第二步，构造(满足极端思维)，第三步，求和(列方程)，第四步，求解。主要的解题方法已经给同学们介绍过了，接下来，我们来用几道例题看一看具体如何解题。

【例1】有一座13.2万人口的城市，需要划分为11个投票区，任何一个区的人口不得超过其他区人口的10%，那么人口最少的地区最少有( )人?

A.9800 B.10500

C.10700 D.11000

【答案】D。

【解析】第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。

第二步，设最少的为x万人，那么最多的最多是1.1x。要使最少的最少，需其他地区的人口最多，可构造11个投票区分别为10个1.1x和一个x。

第三步，根据总人数为13.2万，可得10×1.1x+x=13.2万，解得x=1.1。

因此，选择D选项。

【例2】有4个盒子装有红白蓝绿四色粉笔各有若干支。任意2个盒子的粉笔的支数和分别为12、23、35、42、54、65，粉笔支数最多的盒子里同一颜色最多的粉笔至少有( )支(没有并列)。

A.14 B.13

C.12 D.11

【答案】C。

【解析】第一步，本题考查数列构造问题。

第二步，假设四个盒子中粉笔的支数从小到大分别为a、b、c、d，那么根据题意有a+b=12、a+c=23，b+c=35、a+d=42(或者b+c=42、a+d=35，但无解)，b+d=54、c+d=65。可以得到d-c=54-35=19，那么最大的数d=(65+19)÷2=42。

第三步，盒子中共有4种颜色，最多的最少，根据数列构造的方法，设最多的颜色支数为x，则其他三种颜色支数分别为x-1、x-2、x-3，加和有x+(x-1)+(x-2)+(x-3)=42，解得x=12。即最多有12支。

因此，选择C选项。

相信大家通过以上两个例题的讲解，对于最值问题当中的数列构造已经有了一定的了解，那希望大家在后期的备考中能够一切顺利。

（编辑：上海华图）